Gabarito disponível
Uma nuvem de cargas possui densidade volumétrica de cargas determinada pela equação ρ(r) = ρₒr [C/m³], onde r representa a distância à origem num sistema de coordenadas esféricas. Portanto, o módulo do campo elétrico E é dado por:
Resolução comentada
Pela Lei de Gauss, E = ρ₀r²/(4ε₀).
A carga dentro de uma esfera de raio r é Q = ∫₀ʳ ρ₀r'·4πr'² dr' = πρ₀r⁴. Por Gauss, E·4πr² = Q/ε₀. Então E = πρ₀r⁴/(4πr²ε₀) = ρ₀r²/(4ε₀).
Análise das alternativas
A: esqueceu de dividir por r² da área da superfície gaussiana. B e D: erram a integral (fatores 4r³/3 ou 1/3 não aparecem). E: resulta de integrar como se ρ fosse constante em outra potência.
Referência: Lei de Gauss com simetria esférica.
Resolução comentada do VaiConcursos.