Gabarito disponível
Sobre um polinômio P de 4º grau, sabe-se o seguinte: o coeficiente do termo de maior grau é 1; uma de suas raízes é (1 + i), sendo i a unidade imaginária; a soma de todas as suas raízes é igual a 5; e o produto de todas as suas raízes é igual a 4.
Dividindo-se P por x – 1, tem-se, como resto,
Dividindo-se P por x – 1, tem-se, como resto,
Resolução comentada
As raízes são 1+i, 1–i, 1 e 2, então P(1) = 0.
Como P tem coeficientes reais (todos os dados são reais), 1 – i também é raiz. Sendo r3 e r4 as outras duas raízes, a soma das raízes dá 2 + r3 + r4 = 5, logo r3 + r4 = 3. O produto dá (1+i)(1–i)·r3·r4 = 2·r3·r4 = 4, logo r3·r4 = 2. Assim r3 e r4 são 1 e 2. Como 1 é raiz, pelo teorema do resto o resto da divisão por x – 1 é P(1) = 0.
Análise das alternativas
Os restos 2, 4, 6 e 8 pressuporiam P(1) ≠ 0, mas 1 é raiz de P.
Referência: Polinômios – Relações de Girard e teorema do resto
Resolução comentada do VaiConcursos.