Questão 54 — Álgebra Linear — Transformações Lineares (Injetividade e Isomorfismo) (Matemática) — Fundação VUNESP · Exército Brasileiro — Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2021

Matemática Álgebra Linear — Transformações Lineares (Injetividade e Isomorfismo)

Fundação VUNESP 2021

Exército Brasileiro — Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) · Oficial do Quadro Complementar do Exército · Caderno 011. Prova Objetiva — Modelo de prova (Versão) A

Gabarito disponível

Dada a transformação linear F: P₂ (ℝ) → ℝ⁴, em que F(ax² + bx + c) = (–a – 3c, a + 3b, 2a + 6c, – b + c), é correto afirmar que ela

Selecione uma alternativa A) é isomorfismo, pois é injetora, mas não é sobrejetora. B) não é isomorfismo, pois é injetora, mas não é sobrejetora. C) é isomorfismo, pois é injetora e sobrejetora. D) não é isomorfismo, pois é sobrejetora, mas não é injetora. E) não é isomorfismo, pois não é injetora e também não é sobrejetora.

Resolução comentada

O núcleo de F é não trivial e dim P₂ = 3 < 4 = dim ℝ⁴, então F não é injetora nem sobrejetora.

Para F(p) = 0, resolve-se –a – 3c = 0, a + 3b = 0, 2a + 6c = 0 e –b + c = 0. Isso dá a = –3c e b = c, e a = –3b é consistente com isso. Há solução não nula, como (a,b,c) = (–3,1,1), então o núcleo não é trivial e F não é injetora. Além disso, dim P₂ = 3 < 4 = dim ℝ⁴, então a imagem tem no máximo dimensão 3 e F não é sobrejetora. Sem as duas propriedades, não é isomorfismo.

Análise das alternativas

A, B e C afirmam que F é injetora, o que é falso, pois o núcleo é não trivial. D afirma que F é sobrejetora, o que é impossível com domínio de dimensão 3 e contradomínio de dimensão 4.

Referência: Álgebra Linear – Núcleo, imagem e teorema do núcleo e da imagem

Resolução comentada do VaiConcursos.