Gabarito disponível
A área da região R exterior à curva ρ = 4(1−cos θ) e interior à curva ρ = 4, em unidades de área, é igual a
Resolução comentada
Área = região do círculo ρ=4 fora da cardioide, para −π/2≤θ≤π/2: 32−4π = 32(1−π/8).
A cardioide fica dentro do círculo quando 4(1−cosθ)0, ou seja, θ∈(−π/2,π/2). A área é 2·½∫₀^{π/2}[16−16(1−cosθ)²]dθ = 16∫₀^{π/2}(2cosθ−cos²θ)dθ = 16(2−π/4) = 32−4π = 32(1−π/8).
Análise das alternativas
A, B, D e E têm coeficientes ou sinais que não correspondem a 32−4π, em geral por limites de integração errados ou por esquecer a simetria.
Referência: Área em coordenadas polares: A=½∫(ρ₂²−ρ₁²)dθ.
Resolução comentada do VaiConcursos.