Questão 17 — Integrais Trigonométricas (Cálculo Diferencial e Integral) — Diretoria de Ensino da Marinha · Marinha do Brasil 2015

Cálculo Diferencial e Integral Integrais Trigonométricas

Diretoria de Ensino da Marinha 2015

Marinha do Brasil · Oficial do Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha — Matemática · Caderno Amarela

Gabarito disponível

A antiderivada mais geral de ∫3 sen 3x cos 4x dx tem por expressão:

Selecione uma alternativa A) (3/2)(cos 7x + cos x) + c B) (3/2)(−(1/7)cos 7x + cos x) + c C) (3/2)((1/7)cos 7x − cos x) + c D) (3/2)((1/7)cos 7x + cos x) + c E) (3/2)cos 7x + (1/2)cos x + c

Resolução comentada

Produto seno-cosseno vira soma: 3 sen3x cos4x = (3/2)(sen7x − senx).

Pela identidade sen a cos b = ½[sen(a+b)+sen(a−b)], temos 3 sen3x cos4x = (3/2)(sen7x − sen x). Integrando: ∫sen7x dx = −cos7x/7 e −∫sen x dx = +cos x. O resultado é (3/2)(−(1/7)cos7x + cos x)+c.

Análise das alternativas

A, C, D e E erram o sinal ou o fator 1/7 na integração de sen7x, ou o coeficiente de cos x.

Referência: Identidades de prostaférese; integrais trigonométricas.

Resolução comentada do VaiConcursos.