Questão 25 — Integral de Linha — Trabalho (Cálculo Diferencial e Integral) — Diretoria de Ensino da Marinha · Marinha do Brasil 2015

Cálculo Diferencial e Integral Integral de Linha — Trabalho

Diretoria de Ensino da Marinha 2015

Marinha do Brasil · Oficial do Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha — Matemática · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Considere que um objeto de peso desprezível se mova sobre a curva γ: R⃗(u) = (u, u², u³), desde o ponto O(0,0,0) até o ponto P(1,1,1), sob a ação de uma força , definida por F⃗(x,y,z) = (eˣ, 2xeᶻ, 3x senπy²). O trabalho realizado pelo objeto para ir desde O até P vale

Selecione uma alternativa A) (7/3)(e−1) + 9/(2π) B) (7/3)(e + 1) + 9/(2π) C) (1/3)(7e−1) + 9/(2π) D) (7/3)(e−1) − 9/(2π) E) (7/3)(e−1) + 9π/4

Resolução comentada

Trabalho = ∫F·dR = (7/3)(e−1) + 9/(2π).

Com R(u) = (u,u²,u³), dR = (1,2u,3u²)du. O integrando é F·dR = e^u + 4u²e^{u³} + 9u³ sen(πu⁴). Integrando de 0 a 1: (e−1) + (4/3)(e−1) + 9/(4π)·[−cos(πu⁴)]₀¹ = (7/3)(e−1) + 9/(2π).

Análise das alternativas

B tem (e+1) e D tem sinal negativo no último termo, ambos por erros de sinal. C tem a forma (7e−1)/3, que equivale a (7/3)(e−1) + 2, errando uma constante. E tem 9π/4, de erro na primitiva de sen.

Referência: Cálculo III – Integral de linha de campo vetorial.

Resolução comentada do VaiConcursos.