Gabarito disponível
Seja f : ℝ ⟶ ℝ definida como f(x) = log(x + √(x² + 1)). Então:
Resolução comentada
f(x) = log(x + √(x²+1)) é função ímpar, pois f(−x) = −f(x).
Temos f(−x) = log(√(x²+1) − x). Como (√(x²+1) − x)(√(x²+1) + x) = 1, segue que √(x²+1) − x = 1/(x + √(x²+1)). Logo f(−x) = −f(x), e f é ímpar.
Análise das alternativas
A está errada porque f só seria par se fosse identicamente nula. C está errada porque, para x<0, f é crescente e f(2x) < f(x), então a desigualdade não vale para todo x≠0. D está errada porque a única raiz é x=0, já que x+√(x²+1)=1 só ocorre em x=0. E está errada porque x=0 é raiz.
Referência: Funções – paridade e função logarítmica (arco seno hiperbólico).
Resolução comentada do VaiConcursos.