Questão 10 — Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem (Equações Diferenciais) — Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) · Marinha do Brasil 2022

Equações Diferenciais Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem

Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) 2022 Superior

Marinha do Brasil · Corpo de Engenheiros da Marinha (CP-CEM) — Prova comum a todas as profissões de engenharia · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Observe a equação diferencial abaixo:
x.ln(x) dy + (y − ln(x))dx = 0.
A solução da equação acima, considerando C uma constante, é igual a:

Selecione uma alternativa A) 2x.ln(y) = ln²y + C B) 2y.ln(x) = ln²x + C C) 2y.ln(x) = ln²y + C D) y.ln(x) = ln²x + C E) 2y.ln(y) = ln²x + C

Resolução comentada

A equação é linear em y, com fator integrante ln x, e a solução é 2y ln x = ln²x + C.

Dividindo por x ln x dx, obtém-se y' + y/(x ln x) = 1/x. O fator integrante é exp(∫dx/(x ln x)) = ln x. Então (y·ln x)' = ln x/x, e integrando, y ln x = ln²x/2 + C. Multiplicando por 2, 2y ln x = ln²x + C.

Análise das alternativas

A) e C) misturam ln y, que não aparece na solução. D) esquece o fator 2 do termo ln²x/2. E) troca ln x por ln y no lado esquerdo.

Referência: EDO linear de 1ª ordem; fator integrante.

Resolução comentada do VaiConcursos.