Gabarito disponível
Seja C uma curva em ℜ² parametrizada por (r(t), θ(t)) = (2t, t), 0 ≤ t ≤ 2 onde o par (r, θ) representa as coordenadas polares de cada ponto de C. Qual é o comprimento de C?
Resolução comentada
Em polares, r = 2θ, e o comprimento de arco é 2√5 + ln(2+√5).
Como r = 2t e θ = t, tem-se r = 2θ com θ de 0 a 2. Então L = ∫₀² √(r² + r′²) dθ = ∫₀² 2√(θ²+1) dθ. Usando ∫√(θ²+1) dθ = (θ/2)√(θ²+1) + ½ ln(θ + √(θ²+1)), obtém-se L = 2√5 + ln(2+√5).
Análise das alternativas
B, C, D e E resultam de erros no fator constante da integral ou no sinal e nos termos do logaritmo.
Referência: Cálculo: comprimento de arco em coordenadas polares.
Resolução comentada do VaiConcursos.