Questão 8 — Equação de Bernoulli (Equações Diferenciais) — Diretoria de Ensino da Marinha · Marinha do Brasil 2013

Equações Diferenciais Equação de Bernoulli

Diretoria de Ensino da Marinha 2013 Superior

Marinha do Brasil · Professor do Magistério Superior · Caderno Amarela

Gabarito disponível

A solução geral da equação diferencial dy/dx = (2/x)y + √y ln x⁴ , onde y é função não identicamente nula na variável x ∈ ℜ⁺ e x ≠ 0 é

Selecione uma alternativa A) √y = x ln²x + cx B) y = x ln x + cx C) √y = x ln x + cx² D) y² = x ln x + cx E) y + x = ln²x + cx

Resolução comentada

É uma equação de Bernoulli com n = 1/2; a substituição z = √y dá √y = x ln²x + cx.

Como ln x⁴ = 4 ln x, a equação é y′ = (2/x)y + 4 ln x·√y. Com z = √y, vem z′ − z/x = 2 ln x. O fator integrante é 1/x e dá (z/x)′ = 2 ln x/x, ou seja, z/x = ln²x + c. Portanto √y = x ln²x + cx.

Análise das alternativas

B, C, D e E não satisfazem a EDO ao serem derivadas. Em particular, nenhuma contém o termo ln²x multiplicado por x na forma obtida.

Referência: Equações Diferenciais: equação de Bernoulli.

Resolução comentada do VaiConcursos.