Gabarito disponível
Analise as sentenças abaixo.
I - O conjunto de vetores W = {i⃗ + 3j⃗ , 2i⃗ + 5j⃗ } gera o ℜ².
II - O conjunto V formado por quatro vetores de ℜ³ é linearmente dependente.
III- A transformação T: ℜ² → ℜ² definida por T(x,y) = (xy, 1) não é linear.
IV - Se T: V → W é uma transformação linear então o núcleo de T é um subespaço vetorial de V.
Assinale a opção correta.
I - O conjunto de vetores W = {i⃗ + 3j⃗ , 2i⃗ + 5j⃗ } gera o ℜ².
II - O conjunto V formado por quatro vetores de ℜ³ é linearmente dependente.
III- A transformação T: ℜ² → ℜ² definida por T(x,y) = (xy, 1) não é linear.
IV - Se T: V → W é uma transformação linear então o núcleo de T é um subespaço vetorial de V.
Assinale a opção correta.
Resolução comentada
As quatro sentenças são verdadeiras.
I: os vetores (1,3) e (2,5) têm determinante 5 − 6 = −1 ≠ 0, logo são LI e geram o ℜ². II: quatro vetores em ℜ³ excedem a dimensão 3, logo são LD. III: T(0,0) = (0,1) ≠ (0,0), então T não é linear. IV: o núcleo de uma transformação linear é um subespaço de V.
Análise das alternativas
A, C, D e E negam alguma das sentenças I, II, III ou IV, todas verdadeiras. Só B está correta.
Referência: Álgebra Linear: geradores, dependência linear, transformações lineares e núcleo.
Resolução comentada do VaiConcursos.