Gabarito disponível
Sabendo que f e g são funções reais de uma variável real, tais que f′(x) = 1/x, (f ∘ g)(x) = kx , g(1) = 2g(0) e g(x) ≠ 0, onde k é uma constante real, então o valor de g(2) é
Resolução comentada
De f′ = 1/x segue que ln|g(x)| é linear em x, o que dá g(2) = 4g(0).
Como f(x) = ln|x| + C, a igualdade f(g(x)) = kx dá ln|g(x)| = kx + c′. De g(1) = 2g(0) obtém-se ln|g(1)| − ln|g(0)| = k = ln 2. Assim, ln|g(2)| − ln|g(0)| = 2k = ln 4, e portanto g(2) = 4g(0).
Análise das alternativas
A, B, C e D ignoram que o logaritmo é linear em x. Isso faz g(x) crescer exponencialmente, com razão 2 por unidade de x, e não de forma linear.
Referência: Cálculo: regra da cadeia e integral de 1/x.
Resolução comentada do VaiConcursos.