Gabarito disponível
Seja A = {(x, y) ∈ ℝ² | 0 ≤ x ≤ 4, √x ≤ y ≤ 2}, assinale a opção que apresenta o valor da integral abaixo:
∬A sen(π.y³).dy.dx
∬A sen(π.y³).dy.dx
Resolução comentada
Inverter a ordem de integração torna a integral calculável e o resultado é zero.
A região é 0≤x≤4, √x≤y≤2, ou seja, 0≤y≤2 e 0≤x≤y². Invertendo, a integral vira ∫₀² y²·sen(πy³) dy = [−cos(πy³)/(3π)] de 0 a 2 = (−cos 8π + cos 0)/(3π) = (−1+1)/(3π) = 0. Na ordem original, sen(πy³) não tem primitiva elementar, e por isso a inversão é necessária.
Análise das alternativas
As alternativas A, C, D e E aparecem se cos(8π) for tratado como diferente de 1 ou se os limites forem trocados de forma incorreta. Como cos(8π)=cos(0)=1, os termos se cancelam e só B está correta.
Referência: Cálculo de várias variáveis – Teorema de Fubini e inversão da ordem de integração
Resolução comentada do VaiConcursos.