Gabarito disponível
Um triângulo ABC, reto em B̂, é tal que a bissetriz de  encontra a altura relativa à hipotenusa B̅H̅, no ponto E. Sabe-se que B̅C̅ e B̅E̅ medem 7 cm e 3 cm, respectivamente. Determine a medida do raio do círculo inscrito no triângulo ABC e assinale a opção correta.
Resolução comentada
Triângulo retângulo em B com BC=7 e BE=3 (E na interseção da bissetriz de A com a altura BH): r=(7−√7)/2.
Seja D o pé da bissetriz de A sobre BC. O triângulo BED é isósceles, então BD=BE=3 e DC=4. Pelo teorema da bissetriz, AB/AC = BD/DC = 3/4, isto é, AB=3k e AC=4k. Daí BC=√7·k=7, k=√7, AB=3√7 e AC=4√7. O raio inscrito é r=(AB+BC−AC)/2=(7−√7)/2.
Análise das alternativas
As demais alternativas têm a forma (m−√m)/2, mas com m=3, 5, 11 ou 13, que não correspondem a BC=7. Só m=7 satisfaz as relações obtidas.
Referência: Geometria plana: teorema da bissetriz interna e raio do círculo inscrito em triângulo retângulo.
Resolução comentada do VaiConcursos.