Gabarito disponível
Sejam A e B matrizes quadradas de tamanho 2024 x 2024, com entradas reais, invertíveis e diferentes da matriz identidade I. Suponha que A⁴ = I e ABA⁻¹ = B². Assinale a opção que apresenta o menor número natural n tal que Bⁿ = I.
Resolução comentada
Com A⁴=I e ABA⁻¹=B², obtém-se B¹⁵=I.
Conjugando sucessivamente: A²BA⁻² = (B²)² = B⁴ e A⁴BA⁻⁴ = B¹⁶. Como A⁴=I, o lado esquerdo é B, então B=B¹⁶ e, sendo B invertível, B¹⁵=I. Assim, a ordem de B divide 15, e entre as opções o único divisor de 15 é 15.
Análise das alternativas
4, 8, 16 e 30 não dividem 15, então não podem ser a ordem de B. A opção 15 é a única compatível, e B≠I exclui n=1.
Referência: Álgebra linear: conjugação de matrizes e ordem de um elemento.
Resolução comentada do VaiConcursos.