Questão 17 — Probabilidade (Matemática) — Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) · Marinha do Brasil — Escola Naval 2024

Matemática Probabilidade

Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) 2024 Médio

Marinha do Brasil — Escola Naval · Admissão à Escola Naval (CPAEN) · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Um físico convida seus alunos para realizar um experimento no laboratório de mecânica e leva consigo duas caixinhas idênticas, uma em cada bolso, contendo barrinhas de alumínio idênticas. Para fazer o experimento, o professor toma uma barrinha de uma das caixinhas, a qual é escolhida aleatoriamente. Inicialmente, cada caixinha contém exatamente "n" barrinhas, as quais vão sendo, sucessivamente, usadas e descartadas. Como o físico tem um grau acentuado de distração, há um momento em que tira uma das caixinhas de um dos bolsos e percebe-a vazia. Neste momento, qual é a probabilidade de que a outra caixa contenha exatamente k barrinhas?

Selecione uma alternativa A) (2n − k)!/((n − k)! 2²ⁿ⁻ᵏ) B) (2n − k)!/(n!(n − k)! 2²ⁿ) C) (2n − k)!/(n!(n − k)! 2²ⁿ⁻ᵏ) D) (2n − k)!/(n!(n − k)! 2ᵏ) E) (n − k)!/(n!(n − k)! 2²ⁿ⁻ᵏ)

Resolução comentada

Problema das caixas de fósforos de Banach: probabilidade de a outra caixa conter k barrinhas.

Quando uma caixa é achada vazia, ela foi escolhida pela (n+1)-ésima vez, e a outra tem k. Isso exige n escolhas da caixa vazia e n−k da outra nas primeiras 2n−k retiradas, com a escolha seguinte caindo na vazia. Há 2 caixas possíveis, e cada sequência tem probabilidade (1/2)^(2n−k+1). Logo P = 2·C(2n−k, n)·(1/2)^(2n−k+1) = (2n−k)!/(n!(n−k)!·2^(2n−k)).

Análise das alternativas

A) Falta o n! no denominador. B) O expoente de 2 está errado (2n em vez de 2n−k). D) O expoente de 2 está errado (k em vez de 2n−k). E) O numerador está errado ((n−k)! em vez de (2n−k)!). Só C reproduz a fórmula de Banach.

Referência: Problema de Banach (caixas de fósforos), distribuição binomial negativa.

Resolução comentada do VaiConcursos.