Gabarito disponível
Sabendo que:
I = ∫ cos(1537x) cos(487x) dx,
W = ∫ sen(1499x) sen(525x) dx e
Z = ∫ [cos(974x) − cos(1050x)] dx,
simplifique a expressão I − W + Z/2 e assinale a opção correta.
I = ∫ cos(1537x) cos(487x) dx,
W = ∫ sen(1499x) sen(525x) dx e
Z = ∫ [cos(974x) − cos(1050x)] dx,
simplifique a expressão I − W + Z/2 e assinale a opção correta.
Resolução comentada
Pelas fórmulas de prostaférese, a expressão se reduz a ∫cos(2024x)dx = sen(2024x)/2024.
Usando cos a·cos b = ½[cos(a−b)+cos(a+b)], temos I = ½∫[cos(1050x)+cos(2024x)]. Usando sen a·sen b = ½[cos(a−b)−cos(a+b)], temos W = ½∫[cos(974x)−cos(2024x)]. Z/2 = ½∫[cos(974x)−cos(1050x)]. Somando I − W + Z/2, os termos cos(1050x) e cos(974x) se cancelam e sobra ∫cos(2024x)dx = sen(2024x)/2024.
Análise das alternativas
A, B e C trazem coeficientes ou funções que não resultam da integral de cos(2024x). D troca seno por cosseno. Só E está correta (a constante de integração foi omitida no gabarito).
Referência: Cálculo integral e identidades de produto em soma.
Resolução comentada do VaiConcursos.