Gabarito disponível
Um triângulo retângulo isósceles está inscrito na circunferência L₁ e circunscrito a circunferência L₂. Se os catetos desse triângulo medem 5 cm e as áreas de L₁ e L₂ são respectivamente S₁ e S₂ , é correto afirmar que a razão S₁/S₂ é:
Resolução comentada
Razão entre as áreas do círculo circunscrito e do inscrito no triângulo retângulo isósceles de catetos 5.
A hipotenusa mede 5√2, então R = 5√2/2. O raio do círculo inscrito é r = (b + c − a)/2 = (10 − 5√2)/2. A razão das áreas é (R/r)² = 50/(10 − 5√2)² = 50/(150 − 100√2) = 1/(3 − 2√2). Racionalizando, fica 3 + 2√2.
Análise das alternativas
As demais alternativas não resultam de (R/r)². Elas ignoram que a razão entre áreas é o quadrado da razão entre os raios, ou erram o raio do círculo inscrito.
Referência: Geometria plana: círculos inscrito e circunscrito.
Resolução comentada do VaiConcursos.