Questão 3 — Integrais Triplas — Coordenadas Cilíndricas (Cálculo Diferencial e Integral) — Diretoria de Ensino da Marinha · Marinha do Brasil 2013

Cálculo Diferencial e Integral Integrais Triplas — Coordenadas Cilíndricas

Diretoria de Ensino da Marinha 2013

Marinha do Brasil · Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha (CP-T) — Matemática · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Se G é a região do ℜ³ limitada superiormente pelo parabolóide z = 2 − x² − y² e inferiormente pela semiesfera z = 1 − √(1 − x² − y²), então o volume de G, em coordenadas cilíndricas, é calculado por:

Selecione uma alternativa A) ∫[0, 2π] ∫[0, 1] ∫[1 − √(1 − r²), 2 − r²] r dz dr dθ B) ∫[0, π] ∫[0, 1] ∫[1 − √(1 − r²), 1 + √(1 − r²)] r dz dr dθ C) ∫[0, 2π] ∫[0, 1] ∫[1 + √(1 − r²), 2 − r²] r dz dr dθ D) ∫[0, 2π] ∫[0, 1] ∫[√(1 − r²), 1 − r²] r dz dr dθ E) ∫[0, π] ∫[0, 1] ∫[√(1 − r²), 1 − r²] r dz dr dθ

Resolução comentada

Volume entre paraboloide e semiesfera em coordenadas cilíndricas.

Igualando 2 − r² = 1 − √(1−r²), obtém-se 1 − r² = −√(1−r²), logo √(1−r²) = 0 e r = 1. A região tem 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π e 1 − √(1−r²) ≤ z ≤ 2 − r², com elemento de volume r dz dr dθ.

Análise das alternativas

B usa θ até π e limite superior errado. C usa 1 + √(1−r²) como limite inferior. D e E usam limites que não correspondem às superfícies dadas, e E ainda restringe θ a π.

Referência: Cálculo – integrais triplas em coordenadas cilíndricas

Resolução comentada do VaiConcursos.