Gabarito disponível
Em relação a matrizes, coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas afirmativas abaixo, e assinale a opção que apresenta a sequência correta.
( ) Se A e B são matrizes reais simétricas, então AB também é simétrica.
( ) Se A e B são matrizes reais n × n, então A² − B² = (A − B) (A + B)
( ) Se A é uma matriz real n × n, e sua transposta é uma matriz invertível, então a matriz A é invertível.
( ) Se A é uma matriz real quadrada, A² = 0, então A = 0
( ) Se A e B são matrizes reais quadradas de ordem n, então (AB)ᵗ = AᵗBᵗ
( ) Se A e B são matrizes reais simétricas, então AB também é simétrica.
( ) Se A e B são matrizes reais n × n, então A² − B² = (A − B) (A + B)
( ) Se A é uma matriz real n × n, e sua transposta é uma matriz invertível, então a matriz A é invertível.
( ) Se A é uma matriz real quadrada, A² = 0, então A = 0
( ) Se A e B são matrizes reais quadradas de ordem n, então (AB)ᵗ = AᵗBᵗ
Resolução comentada
Propriedades de matrizes: simetria, produto notável, invertibilidade, nilpotência e transposta do produto.
1) Falso: AB é simétrica apenas se AB = BA. 2) Falso: (A−B)(A+B) = A² + AB − BA − B², que só é A² − B² se AB = BA. 3) Verdadeiro: det(Aᵗ) = det A ≠ 0. 4) Falso: existem matrizes não nulas com A² = 0, como [[0,1],[0,0]]. 5) Falso: (AB)ᵗ = BᵗAᵗ. A sequência é F F V F F.
Análise das alternativas
As demais opções marcam como verdadeira ao menos uma das afirmativas 1, 2, 4 ou 5, todas falsas.
Referência: Álgebra Linear – matrizes e transposição
Resolução comentada do VaiConcursos.