Gabarito disponível
Considere w = f(x, y, z) uma função diferenciável num subconjunto aberto D do ℜ³ contendo o ponto P. Se a derivada de f em P é máxima na direção e sentido do vetor v⃗ = −i⃗ + j⃗ + k⃗ e nessa direção e sentido, o valor da derivada direcional é 2√3, então a derivada de f em P na direção do vetor u⃗ = j⃗ + k⃗ é:
Resolução comentada
∇f = 2√3·v/‖v‖ = (−2,2,2); a derivada na direção (0,1,1)/√2 é 2√2.
A derivada máxima ocorre na direção do gradiente e vale ‖∇f‖ = 2√3. Como ‖v‖ = √3, ∇f = 2(−1,1,1) = (−2,2,2). Na direção de u=(0,1,1), normalizado para (0,1,1)/√2, a derivada é (2+2)/√2 = 2√2.
Análise das alternativas
A) 4√2 e E) −3√2 vêm de erros de módulo ou de sinal. C) e D) também não resultam do produto ∇f·û. Só 2√2 resulta de ∇f·û.
Referência: Cálculo – derivada direcional e gradiente.
Resolução comentada do VaiConcursos.