Gabarito disponível
Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M:
Mᵗ é a matriz transposta de M
M⁻¹ é a matriz inversa de M
det M é o determinante da matriz M
Da equação (Xᵗ)⁻¹ = A · (B + C), em que A e (B + C) são matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, afirma-se que
I. X = (A⁻¹)ᵗ · [(B + C)⁻¹]ᵗ
II. det X = 1/(det A · det(B + C))
III. X⁻¹ = (Bᵗ + Cᵗ) · Aᵗ
São corretas
Mᵗ é a matriz transposta de M
M⁻¹ é a matriz inversa de M
det M é o determinante da matriz M
Da equação (Xᵗ)⁻¹ = A · (B + C), em que A e (B + C) são matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, afirma-se que
I. X = (A⁻¹)ᵗ · [(B + C)⁻¹]ᵗ
II. det X = 1/(det A · det(B + C))
III. X⁻¹ = (Bᵗ + Cᵗ) · Aᵗ
São corretas
Resolução comentada
Isolando X em (Xᵗ)⁻¹=A(B+C), as três afirmações são verdadeiras.
Invertendo os dois lados, Xᵗ=(B+C)⁻¹A⁻¹. Transpondo, X=(A⁻¹)ᵗ[(B+C)⁻¹]ᵗ, o que confirma I. Como det X=det Xᵗ=1/(det A·det(B+C)), II é verdadeira. Por fim, X⁻¹=((Xᵗ)⁻¹)ᵗ=[A(B+C)]ᵗ=(B+C)ᵗAᵗ=(Bᵗ+Cᵗ)Aᵗ, o que confirma III.
Análise das alternativas
A, B e C excluem alguma das afirmações, mas I, II e III são todas verdadeiras. Só D está correta.
Referência: Propriedades: (MN)⁻¹=N⁻¹M⁻¹, (MN)ᵗ=NᵗMᵗ, det Mᵗ=det M, det M⁻¹=1/det M.
Resolução comentada do VaiConcursos.