Gabarito disponível
Considere as funções reais f, g e h tais que
f(x) = mx² − (m + 2)x + (m + 2)
g(x) = 1/x
h(x) = √x
Para que a função composta h o g o f(x) tenha domínio D = ℝ, deve-se ter
f(x) = mx² − (m + 2)x + (m + 2)
g(x) = 1/x
h(x) = √x
Para que a função composta h o g o f(x) tenha domínio D = ℝ, deve-se ter
Resolução comentada
É preciso f(x) > 0 para todo x real, o que dá m > 2/3.
A composta é h(g(f(x))) = √(1/f(x)), definida em ℝ quando f(x) > 0 para todo x. Isso exige m > 0 e discriminante negativo: (m+2)² − 4m(m+2) < 0, ou seja, (m+2)(2−3m) 2/3 ou m 0, resulta m > 2/3.
Análise das alternativas
B, C e D: contêm valores de m (como m = 0 ou m negativo) para os quais f deixa de ser sempre positiva, então o domínio não é ℝ.
Referência: Composição de funções e sinal da função quadrática.
Resolução comentada do VaiConcursos.