Gabarito disponível
Considere as seguintes afirmações:
I. A função f(x) = log₁₀((x − 1)/x) é estritamente crescente no intervalo ]1, +∞[.
II. A equação 2ˣ⁺² = 3ˣ⁻¹ possui uma única solução real.
III. A equação (x + 1)ˣ = x admite pelo menos uma solução real positiva.
É (são) verdadeira(s)
I. A função f(x) = log₁₀((x − 1)/x) é estritamente crescente no intervalo ]1, +∞[.
II. A equação 2ˣ⁺² = 3ˣ⁻¹ possui uma única solução real.
III. A equação (x + 1)ˣ = x admite pelo menos uma solução real positiva.
É (são) verdadeira(s)
Resolução comentada
I e II verdadeiras; III falsa (sem solução positiva).
I: (x−1)/x = 1 − 1/x é crescente para x > 1 e log₁₀ é crescente, então f é estritamente crescente. II: (x+2)ln2 = (x−1)ln3 leva a x(ln3 − ln2) = 2ln2 + ln3, que tem uma única solução. III: se x ≥ 1, (x+1)ˣ ≥ x+1 > x. Se 0 < x 1 > x. Não há solução positiva.
Análise das alternativas
A: omite II. C, D e E: tratam III como verdadeira, mas ela é falsa.
Referência: Funções exponencial e logarítmica.
Resolução comentada do VaiConcursos.