Gabarito disponível
Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X ⊂ Y e X ≠ Y. Considere as seguintes afirmações:
I. Existe uma bijeção f : X → Y.
II. Existe uma função injetora g : Y → X.
III. O número de funções injetoras f : X → Y é igual ao número de funções sobrejetoras g : Y → X.
É (são) verdadeira(s)
I. Existe uma bijeção f : X → Y.
II. Existe uma função injetora g : Y → X.
III. O número de funções injetoras f : X → Y é igual ao número de funções sobrejetoras g : Y → X.
É (são) verdadeira(s)
Resolução comentada
Funções entre X e Y, com X subconjunto próprio de Y finito.
Como |X| < |Y|, não existe bijeção entre eles, o que torna I falsa. Também não existe injetora de Y em X, o que torna II falsa. Em III, o número de injetoras X→Y em geral difere do de sobrejetoras Y→X. Por exemplo, com |X| = 1 e |Y| = 2 há 2 injetoras e apenas 1 sobrejetora. Nenhuma afirmação é verdadeira.
Análise das alternativas
B, C, D e E incluem ao menos uma afirmação falsa, pois I, II e III são falsas.
Referência: Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras (conjuntos finitos).
Resolução comentada do VaiConcursos.