Gabarito disponível
O número de soluções da equação (1 + secθ)(1 + cossecθ) = 0, com θ ∈ [−π, π], é
Resolução comentada
Equação com secante e cossecante.
O produto só se anula se sec θ = −1 (θ = ±π) ou cossec θ = −1 (θ = −π/2). Em θ = ±π, sen θ = 0 e a cossecante não existe. Em θ = −π/2, cos θ = 0 e a secante não existe. Nenhum candidato está no domínio, então há 0 soluções.
Análise das alternativas
B, C, D e E contam como soluções os valores θ = ±π ou θ = −π/2. Esses pontos zeram um fator, mas o outro fator fica indefinido.
Referência: Equações trigonométricas e domínio.
Resolução comentada do VaiConcursos.