Gabarito disponível
Em um tetraedro ABCD, os ângulos AB̂C e AĈB são idênticos e a aresta AD é ortogonal à BC. A área do ΔABC é igual à área do ΔACD, e o ângulo MÂD é igual ao ângulo MD̂A, onde M é ponto médio de BC. Calcule a área total do tetraedro ABCD, em cm², sabendo que BC = 2cm, e que o ângulo BÂC é igual a 30º.
Resolução comentada
As quatro faces têm área 2+√3, totalizando 4(2+√3) cm².
Como ∠B = ∠C, ABC é isósceles com AM ⟂ BC. Com BC = 2 e ∠A = 30°, AM = 1/tg15° = 2+√3 e a área de ABC é 2+√3. Da condição ∠MAD = ∠MDA, MD = MA. Como AD ⟂ BC e AM ⟂ BC, BC é perpendicular ao plano AMD, então BCD tem área ½·2·(2+√3) = 2+√3. Por simetria, ACD = ABD = ABC = 2+√3. A área total é 4(2+√3).
Análise das alternativas
A, B, C e E) Erradas: não correspondem à soma das quatro faces, todas de área 2+√3.
Referência: Geometria espacial – tetraedro e perpendicularidade reta-plano
Resolução comentada do VaiConcursos.