Questão 14 — Sistemas Lineares — Discussão de Sistemas Homogêneos (Matemática) — Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Matemática Sistemas Lineares — Discussão de Sistemas Homogêneos

Instituto Tecnológico de Aeronáutica Médio

Instituto Tecnológico de Aeronáutica · Vestibular — Matemática

Gabarito disponível

Se o sistema
x + y + z = 0
2a²y + (2a⁴ − a)z = 0
x + ay + (a³ − 1)z = 0
admite infinitas soluções, então os possíveis valores do parâmetro a são

Selecione uma alternativa A) 0, −1, (−1 − √3)/2, (−1 + √3)/2. B) 0, −1, (1 − √3)/2, (1 + √3)/2. C) 0, −1, (−1 + √3)/2, (1 + √3)/2. D) 0, −1, −1 − √3, −1 + √3. E) 0, −1, 1 − √3, 1 + √3.

Resolução comentada

Determinante nulo: a(a+1)(2a²−2a−1) = 0.

Para o sistema homogêneo ter infinitas soluções, o determinante deve ser nulo. Calculando, det = −a² + (2a⁴ − a) − 2a² = a(2a³ − 3a − 1) = a(a+1)(2a² − 2a − 1). As raízes são a = 0, a = −1 e a = (1 ± √3)/2.

Análise das alternativas

A, C, D e E trazem raízes de outros polinômios (por exemplo, (−1±√3)/2 ou 1±√3), que não anulam o determinante de 2a² − 2a − 1. Só B tem os quatro valores corretos.

Referência: Regra de Cramer / discussão de sistemas homogêneos.

Resolução comentada do VaiConcursos.