Gabarito disponível
Sejam A e B matrizes quadradas n × n tais que A + B = A · B e Iₙ a matriz identidade n × n. Das afirmações:
I. Iₙ − B é inversível;
II. Iₙ − A é inversível;
III. A · B = B · A.
é (são) verdadeira(s)
I. Iₙ − B é inversível;
II. Iₙ − A é inversível;
III. A · B = B · A.
é (são) verdadeira(s)
Resolução comentada
A + B = AB equivale a (A−I)(B−I) = I, e as três afirmações são verdadeiras.
Pela equação, AB − A − B + I = I, isto é, (A − I)(B − I) = I. Assim, A − I e B − I são inversas uma da outra, logo ambas são inversíveis (I e II verdadeiras, pois I − B = −(B − I)). Como a inversa é bilateral, (B − I)(A − I) = I, o que dá BA = A + B = AB (III verdadeira).
Análise das alternativas
A, B, C e D são erradas porque omitem ao menos uma afirmação verdadeira. A comutatividade e a inversibilidade de I − A e I − B decorrem todas da mesma identidade.
Referência: Matriz inversa; fatoração (A−I)(B−I).
Resolução comentada do VaiConcursos.