Gabarito disponível
Um professor de matemática presenteia sua filha, no aniversário de 4 anos de idade, com duas moedas de R$ 1,00, e lhe promete, diariamente, na primeira hora do dia, dobrar a quantidade de moedas, que a filha ainda tiver consigo, provenientes desta transação. No mesmo dia do aniversário, a menina já gasta uma das moedas e fica apenas com uma. Cumprindo o prometido, no dia seguinte, seu pai dobra o valor de R$ 1,00 e a filha volta a ter R$ 2,00. Novamente, no mesmo dia, após seu pai dobrar-lhe o valor, a menina volta a gastar uma das moedas, voltando a ficar apenas com R$ 1,00. Esse comportamento se repete por vários dias, até que, um certo dia, a menina decide não gastar R$ 1,00, como de costume. No dia seguinte, seu pai fica surpreso com a novidade e continua, conforme o prometido, dobrando os R$ 2,00 que a menina possuía naquele dia. Contudo, no mesmo dia, a menina volta a repetir o padrão anterior de gastar R$ 1,00 por dia, nunca mais vindo a repetir aquele comportamento isolado de não gastar uma das moedas. Porém, do dia em que ela não gastou a moeda em diante, a menina percebe uma mudança surpreendente no novo padrão que surge com o acúmulo de suas moedas. A contar do dia seguinte ao que a menina não gastou uma das moedas, determine qual foi o tempo mínimo necessário para que o valor acumulado ultrapassasse R$ 1000,00.
Resolução comentada
Após o dia sem gasto, o saldo ao fim de cada dia é 2^n + 1, e é preciso achar o menor n em que ele passa de R$ 1000.
No dia em que ela não gasta, fica com R$ 2,00. No dia seguinte o pai dobra para 4 e ela gasta 1, ficando com 3. Depois 6→5, 10→9, 18→17, e assim por diante, de modo que o saldo ao fim do dia n é 2^n + 1. Precisamos de 2^n + 1 > 1000, o que dá 2^n ≥ 1000 e, portanto, n = 10 (1025). Com n = 9 o saldo é 513, que não basta.
Análise das alternativas
6, 8 e 9 dias dão saldos de 65, 257 e 513, todos abaixo de R$ 1000. 11 dias (2049) também passa de R$ 1000, mas não é o tempo mínimo.
Referência: Potenciação e progressão geométrica de razão 2
Resolução comentada do VaiConcursos.