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Texto-base:
TEXTO PARA A QUESTÃO 20.
Há situações em que equações de grau superior a 2 podem ser resolvidas com o auxílio de uma técnica denominada “mudança de variável”, que nos permite diminuir o grau da equação, transformando-a em uma equação de 2° grau.
Um exemplo desse uso pode ser visto aqui:
Seja a equação x⁴ – 7x² – 18 = 0 (I)
Admita que y = x² (II)
Substituindo (II) em (I), obtemos y² – 7y – 18 = 0
Resolvendo a equação do 2° grau, temos y₁ = 9 e y₂ = – 2
Atribua x² = 9 → x₁ = 3 e x₂ = – 3 e, ainda,
x² = – 2 → neste caso, não há raízes reais.
A soma dos cubos das raízes reais da equação (x² – 2x + 1)² = 5x² – 10x + 1 é igual a
TEXTO PARA A QUESTÃO 20.
Há situações em que equações de grau superior a 2 podem ser resolvidas com o auxílio de uma técnica denominada “mudança de variável”, que nos permite diminuir o grau da equação, transformando-a em uma equação de 2° grau.
Um exemplo desse uso pode ser visto aqui:
Seja a equação x⁴ – 7x² – 18 = 0 (I)
Admita que y = x² (II)
Substituindo (II) em (I), obtemos y² – 7y – 18 = 0
Resolvendo a equação do 2° grau, temos y₁ = 9 e y₂ = – 2
Atribua x² = 9 → x₁ = 3 e x₂ = – 3 e, ainda,
x² = – 2 → neste caso, não há raízes reais.
A soma dos cubos das raízes reais da equação (x² – 2x + 1)² = 5x² – 10x + 1 é igual a
Resolução comentada
Com y = x² − 2x, obtém-se y² − 3y = 0.
Escrevendo 5x² − 10x + 1 = 5(x² − 2x) + 1, com y = x² − 2x: (y+1)² = 5y + 1, logo y² − 3y = 0 e y = 0 ou y = 3. Para y = 0: x = 0 ou x = 2. Para y = 3: x² − 2x − 3 = 0, então x = 3 ou x = −1. Soma dos cubos: 0 + 8 + 27 − 1 = 34.
Análise das alternativas
36, 18, −18 e −34 resultam de erros de sinal ou de raízes omitidas.
Referência: Mudança de variável em equações do 2º grau
Resolução comentada do VaiConcursos.