Gabarito disponível
Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere as seguintes afirmações:
I. se n é um número natural, então 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ··· + 1/(2n) ⩾ 1/2.
II. se x é um número real e x³ + x + 1 = 0, então x² + 1/x + 1/x⁶ = 0.
III. se a, b e c são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então 1/(√b + √c), 1/(√c + √a), 1/(√a + √b) formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.
É(são) VERDADEIRA(S)
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Considere as seguintes afirmações:
I. se n é um número natural, então 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ··· + 1/(2n) ⩾ 1/2.
II. se x é um número real e x³ + x + 1 = 0, então x² + 1/x + 1/x⁶ = 0.
III. se a, b e c são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então 1/(√b + √c), 1/(√c + √a), 1/(√a + √b) formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.
É(são) VERDADEIRA(S)
Resolução comentada
I e III são verdadeiras; II é falsa.
I: a soma tem n parcelas, todas ≥ 1/(2n), logo é ≥ n·1/(2n) = 1/2. III: racionalizando, 1/(√b+√c) = (√c−√b)/d, 1/(√c+√a) = (√c−√a)/(2d) e 1/(√a+√b) = (√b−√a)/d, em que d é a razão da PA. A soma da primeira com a terceira é (√c−√a)/d, o dobro da do meio, então formam PA. II: x³+x+1=0 dá 1/x = −(x²+1), logo x²+1/x = −1, e a expressão vale 0 só se x⁶=1. Isso não ocorre (x=−1 não é raiz), então II é falsa.
Análise das alternativas
A) Omite III, que é verdadeira. B, D, E) Incluem II, falsa.
Referência: Desigualdades; raízes de polinômios; PA
Resolução comentada do VaiConcursos.