Gabarito disponível
Texto-base:
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Sabe-se que −2 + 2i é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de z, é igual a
Notações
ℝ : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i² = −1
det(M) : determinante da matriz M
M⁻¹ : inversa da matriz M
Mᵀ : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
Sabe-se que −2 + 2i é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de z, é igual a
Resolução comentada
As raízes cúbicas de z formam um triângulo equilátero de circunradius 4 e área 12√3.
Com w = −2+2i, |w| = 2√2 e arg = 135°, então z = w⁴ tem módulo 64 e argumento 540°, ou seja, z = −64. As raízes cúbicas têm módulo ∛64 = 4 e formam um triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio 4. Sua área é (3√3/4)·R² = (3√3/4)·16 = 12√3.
Análise das alternativas
A, B, C, D) Resultam de erro no módulo de z ou na fórmula da área do triângulo equilátero inscrito.
Referência: Números complexos; raízes n-ésimas; polígonos regulares inscritos
Resolução comentada do VaiConcursos.