Gabarito disponível
A divisibilidade de um número por outro é um importante tema de estudo, na Matemática. Sabe-se que um número é divisível por outro se ele é divisível por seus fatores. Por exemplo, 120 é divisível por 24, pois 120 é divisível por 6 e por 4 e 6 × 4 = 24.
Outros conhecimentos nos dizem que um número é divisível por 5 se termina com o algarismo 0 ou 5. Também sabemos que um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos for divisível por 9. Por exemplo, 279 é divisível por 9, pois 2 + 7 + 9 = 18 e 18 é divisível por 9.
Agora, considere todos os números formados apenas pelos algarismos 1 ou 5. Se o número natural N é o menor dentre esses números e N divisível por 45, então o número de divisores naturais que possui o quociente da divisão de N por 45 é:
Outros conhecimentos nos dizem que um número é divisível por 5 se termina com o algarismo 0 ou 5. Também sabemos que um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos for divisível por 9. Por exemplo, 279 é divisível por 9, pois 2 + 7 + 9 = 18 e 18 é divisível por 9.
Agora, considere todos os números formados apenas pelos algarismos 1 ou 5. Se o número natural N é o menor dentre esses números e N divisível por 45, então o número de divisores naturais que possui o quociente da divisão de N por 45 é:
Resolução comentada
Número de divisores de N/45.
N deve terminar em 5 e ter soma de algarismos múltipla de 9, com apenas 1 e 5. O menor é 11115 (soma 9). 11115 ÷ 45 = 247 = 13 × 19, que tem 4 divisores.
Análise das alternativas
B) 5, C) 9, D) 12 e E) 24 não coincidem com os divisores de 13·19, que são (1+1)(1+1) = 4.
Referência: Divisibilidade; número de divisores.
Resolução comentada do VaiConcursos.