Questão 60 — Vetores — Produto Misto e Volume da Pirâmide (Matemática) — Fundação Vunesp · Exército Brasileiro — Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2020

Matemática Vetores — Produto Misto e Volume da Pirâmide

Fundação Vunesp 2020 Superior

Exército Brasileiro — Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) · Oficial do Quadro Complementar do Exército — Área: Magistério de Matemática · Caderno Versão A (015. Prova Objetiva)

Gabarito disponível

Considere os vetores u⃗ = (3, 5, –1), v⃗ = (0, 4, 8) e w⃗ = (–2, 7, k), sendo k um número real, e os pontos A = O + u⃗, B = O + v⃗, C = O + w⃗ e D = O + u⃗ + v⃗, sendo O um ponto qualquer do espaço. Nessas condições, para que o volume da pirâmide de base OABD e vértice C seja 260/3 u.v., é correto afirmar que k é igual a

Selecione uma alternativa A) –1/3 ou igual a 43. B) 1/3 ou igual a –43. C) 1/3, apenas. D) 43, apenas. E) –1/3 ou igual a –43.

Resolução comentada

Volume da pirâmide via produto misto.

A base OABD é um paralelogramo de lados u e v, então V = (1/3)·|(u×v)·w|. Temos u×v = (44, –24, 12), e (u×v)·w = –88 – 168 + 12k = 12k – 256. Impondo |12k–256| = 260, obtém-se k=43 ou k=–1/3.

Análise das alternativas

As outras alternativas omitem uma das duas soluções ou trocam os sinais, o que ignora o módulo ou erra o produto vetorial.

Referência: Geometria analítica: produto misto e volume de pirâmide.

Resolução comentada do VaiConcursos.