Gabarito disponível
Seja B o conjunto de todos os valores de x ∈ ℝ para os quais a soma dos termos da progressão
−4/(3x), 16/(9x²), −64/(27x³), 256/(81x⁴), ···
assume um valor finito. Define-se a função f : B → ℝ, para cada x ∈ B, tal que
f(x) = −4/(3x) + 16/(9x²) − 64/(27x³) + 256/(81x⁴) − ···
A soma das raízes da equação f(x) = −x, x ∈ B, é:
−4/(3x), 16/(9x²), −64/(27x³), 256/(81x⁴), ···
assume um valor finito. Define-se a função f : B → ℝ, para cada x ∈ B, tal que
f(x) = −4/(3x) + 16/(9x²) − 64/(27x³) + 256/(81x⁴) − ···
A soma das raízes da equação f(x) = −x, x ∈ B, é:
Resolução comentada
PG de razão −4/(3x), convergente se |x|>4/3, com soma −4/(3x+4); a equação f(x) = −x tem raízes 2/3 e −2, só −2 em B.
A razão é q = −4/(3x); a soma finita exige |q|4/3. A soma é f(x) = (−4/(3x))/(1+4/(3x)) = −4/(3x+4). Impondo f(x) = −x: 3x²+4x−4 = 0, cujas raízes são 2/3 e −2. Só −2 pertence a B. A soma das raízes em B é −2.
Análise das alternativas
A, C, D e E aparecem se for considerado a soma de ambas as raízes (−4/3) ou outros erros; 2/3 não está em B porque |2/3| < 4/3.
Referência: Série geométrica: convergência e soma infinita.
Resolução comentada do VaiConcursos.