Gabarito disponível
Considere o conjunto de todas as retas que são secantes ao gráfico da função
f(x) = ln(|−7/12 + x − x²|^(3x−1))
e que passam pelo ponto (1/3, f(1/3)).
O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto é:
f(x) = ln(|−7/12 + x − x²|^(3x−1))
e que passam pelo ponto (1/3, f(1/3)).
O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto é:
Resolução comentada
f(1/3) = 0 e o coeficiente da secante é 3 ln(x²−x+7/12), cujo mínimo é 3 ln(1/3).
O discriminante de −x²+x−7/12 é negativo, então o módulo vale x²−x+7/12 e f(x) = (3x−1)·ln(x²−x+7/12). Como f(1/3) = 0, o coeficiente da secante é f(x)/(x−1/3) = 3 ln(x²−x+7/12). O mínimo da quadrática ocorre em x = 1/2 e vale 1/3. Logo o menor coeficiente é 3 ln(1/3) = −3 ln 3.
Análise das alternativas
B vem de omitir o fator 3. C usa 13/36, que é o valor da quadrática em x=1/3, não o mínimo. D e E não correspondem ao valor mínimo da expressão.
Referência: Funções logarítmicas; coeficiente angular de secantes.
Resolução comentada do VaiConcursos.