Gabarito disponível
Seja a matriz quadrada A de ordem 2021 cujo o elemento da linha i e coluna j é
a_(i,j) =
1, se i = 1 ou i ≠ j
0, se i = j ≠ 1
com i, j ∈ {1, 2, ···, 2021}. O valor do determinante de A é:
a_(i,j) =
1, se i = 1 ou i ≠ j
0, se i = j ≠ 1
com i, j ∈ {1, 2, ···, 2021}. O valor do determinante de A é:
Resolução comentada
A = J − D; subtraindo a linha 1 das demais, a matriz fica triangular e det = 1.
A primeira linha é toda de 1; nas demais, o elemento é 1 fora da diagonal e 0 na diagonal. Subtraindo a linha 1 de cada linha i ≥ 2, a linha i passa a ter só −1 na posição i. A matriz fica triangular, com diagonal 1, −1, ..., −1 (2020 vezes −1). O determinante é (−1)²⁰²⁰ = 1.
Análise das alternativas
−2021, 2021, 0 e −1 resultam de erros na eliminação ou de sinal; o expoente 2020 é par, então o sinal é positivo.
Referência: Determinantes: Teorema de Jacobi / operações elementares com linhas.
Resolução comentada do VaiConcursos.