Gabarito disponível
Para cada número n natural, seja a função real fₙ(x) definida para cada x ∈ ℝ, tal que x ≠ (k + 1)π/2, ∀k ∈ ℤ, de forma que:
fₙ(x) = ([tg(x)]ⁿ + 1)/(n[sec(x)]ⁿ)
A função g(x) que atende g(x) = f₆(x) − f₄(x) + 1/3 é:
fₙ(x) = ([tg(x)]ⁿ + 1)/(n[sec(x)]ⁿ)
A função g(x) que atende g(x) = f₆(x) − f₄(x) + 1/3 é:
Resolução comentada
fₙ = (senⁿx + cosⁿx)/n, e f₆ − f₄ é constante.
Como tgⁿ/secⁿ = senⁿ e 1/secⁿ = cosⁿ, fₙ = (senⁿx + cosⁿx)/n. Seja p = sen²x·cos²x. Então sen⁶+cos⁶ = 1−3p e sen⁴+cos⁴ = 1−2p. Assim f₆ − f₄ = (1−3p)/6 − (1−2p)/4 = −1/12. Somando 1/3, g(x) = 1/4.
Análise das alternativas
As demais opções dependem de x (cos x + 3, sen x − 2, tg x − 1/3), mas g é constante; 1/12 sai de erro de sinal ou de soma.
Referência: Identidades trigonométricas fundamentais.
Resolução comentada do VaiConcursos.