Gabarito disponível
Uma função real y = f(x) satisfaz a equação diferencial ordinária xy' + y = ln(x + 1), com x > 0. Se f(1) = ln4, então f'(1) é igual a:
Resolução comentada
EDO xy' + y = ln(x+1) ⇒ (xy)' = ln(x+1); f'(1) = −ln2.
Como xy' + y = (xy)', integra-se: xy = (x+1)ln(x+1) − x + C. Com f(1) = ln4 = 2ln2, obtém-se 2ln2 = 2ln2 − 1 + C, logo C = 1. Em x = 1, a equação dá y' + y = ln2, então f'(1) = ln2 − ln4 = −ln2.
Análise das alternativas
As demais opções não satisfazem y' = ln2 − y em x = 1 com y = ln4. A, C, D e E ignoram essa relação ou erram o valor de C.
Referência: EDO linear de 1ª ordem; integração por partes.
Resolução comentada do VaiConcursos.