Gabarito disponível
Seja f(x) uma função definida em ℝ tal que f(1) = 1. Para todo x ∈ ℝ valem as seguintes desigualdades
f(x + 7) ⩾ f(x) + 7 e f(x + 1) ⩽ f(x) + 1 .
Se g(x) = f(x − 1) − x + 2, o valor de g(2023) é
f(x + 7) ⩾ f(x) + 7 e f(x + 1) ⩽ f(x) + 1 .
Se g(x) = f(x − 1) − x + 2, o valor de g(2023) é
Resolução comentada
As duas desigualdades forçam f(x+1) = f(x)+1, então f(n) = n e g(2023) = 1.
De f(x+1) ≤ f(x)+1 segue f(x+7) ≤ f(x)+7. Combinando com f(x+7) ≥ f(x)+7, tem-se igualdade, e portanto cada passo f(x+1) = f(x)+1 vale com igualdade. Com f(1) = 1, f(n) = n para todo inteiro n. Assim g(2023) = f(2022) − 2023 + 2 = 2022 − 2021 = 1.
Análise das alternativas
A, C, D e E decorrem de erros de cálculo ou de usar f(2023) em vez de f(2022). O valor correto é 1.
Referência: Funções – equações e inequações funcionais.
Resolução comentada do VaiConcursos.