Gabarito disponível
Considere os conjuntos de números complexos:
A = {x + iy tal que x,y ∈ ℝ e |x| + |y| ≤ r} e
B = {x + iy tal que x,y ∈ ℝ e max {|x − a|,|y − b|} ≤ c} ,
onde r, a, b e c são números reais positivos e max {x₁,x₂} é o maior valor entre os reais x₁ e x₂.
O menor valor de r, em função de a, b e c, para que se tenha B ⊂ A é
A = {x + iy tal que x,y ∈ ℝ e |x| + |y| ≤ r} e
B = {x + iy tal que x,y ∈ ℝ e max {|x − a|,|y − b|} ≤ c} ,
onde r, a, b e c são números reais positivos e max {x₁,x₂} é o maior valor entre os reais x₁ e x₂.
O menor valor de r, em função de a, b e c, para que se tenha B ⊂ A é
Resolução comentada
B é um quadrado de centro (a,b) e semilado c; o vértice mais afastado dá r = a + b + 2c.
B é o quadrado de centro (a,b) e semilado c. A função |x| + |y| é convexa, então seu máximo em B ocorre num vértice. O vértice mais afastado é (a+c, b+c), onde |x| + |y| = a + b + 2c. Logo, o menor r tal que B ⊂ A é a + b + 2c.
Análise das alternativas
A (a+b+c) deixa o vértice (a+c, b+c) fora de A. B, C e E fornecem valores que não coincidem com o máximo de |x|+|y| em B, por isso não são o menor r.
Referência: Números complexos – regiões no plano de Argand-Gauss.
Resolução comentada do VaiConcursos.