Gabarito disponível
Seja um tetraedro de vértices A, B, C e D. São dados os ângulos em radianos:
A D̂ B = π/3 e C D̂ B = A D̂ C = π/2
e os comprimentos das arestas em centímetros CD‾ = 3 e AD‾ = BD‾ = 4 .
A distância em centímetros do ponto D ao plano ABC é
A D̂ B = π/3 e C D̂ B = A D̂ C = π/2
e os comprimentos das arestas em centímetros CD‾ = 3 e AD‾ = BD‾ = 4 .
A distância em centímetros do ponto D ao plano ABC é
Resolução comentada
Pelo volume do tetraedro, a distância de D ao plano ABC é 6/√7 = (6/7)√7.
CD é perpendicular a DA e DB, logo é perpendicular ao plano ABD. O triângulo ABD tem AD = BD = 4 e ângulo de 60°, portanto é equilátero com AB = 4 e área 4√3. O volume é V = (1/3)·4√3·3 = 4√3. No triângulo ABC, CA = CB = 5 e AB = 4, então a altura relativa a AB é √21 e a área é 2√21. A distância procurada é d = 3V/área = 12√3/(2√21) = 6/√7 = (6/7)√7.
Análise das alternativas
B, C, D e E não satisfazem V = (1/3)·(2√21)·d. Além disso, d não pode ser maior que 3, pois d ≤ CD = 3 e d ≤ AD, e os valores 4 e 5 excedem esse limite. Nenhuma das outras bate com o cálculo.
Referência: Geometria Espacial – tetraedro, volume e distância ponto-plano.
Resolução comentada do VaiConcursos.