Gabarito disponível
Texto-base:
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Seja T um triângulo de vértices A, B e C com m(AB) = 2√5 e m(BC) = 6. Sabendo que AB̂C é agudo e T é inscritível em uma circunferência de raio R = 5, podemos afirmar que:
Convenções: Consideramos o sistema de coordenadas cartesiano a menos que haja indicação contrária.
ℕ = {1, 2, 3, ...} : denota o conjunto dos números naturais.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
Mₙ(ℝ) : denota o conjunto das matrizes n × n de entradas reais.
AB (com barra superior) : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AÔB : denota o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB (com seta superior), com vértice no ponto O.
m(AB) (AB com barra superior) : denota o comprimento do segmento AB.
Seja T um triângulo de vértices A, B e C com m(AB) = 2√5 e m(BC) = 6. Sabendo que AB̂C é agudo e T é inscritível em uma circunferência de raio R = 5, podemos afirmar que:
Resolução comentada
Lei dos cossenos combinada com a lei dos senos dá AC = 4√5/5.
Pela lei dos senos, AC = 2R·sen B = 10 sen B. Pela lei dos cossenos, AC² = 20 + 36 − 24√5 cos B. Igualando, 25cos²B − 6√5 cos B − 11 = 0, e a raiz positiva (B agudo) é cos B = 11√5/25. Daí sen B = 2√5/25 e AC = 10·2√5/25 = 4√5/5.
Análise das alternativas
As demais alternativas não satisfazem a relação AC = 10 sen B com B agudo. A raiz negativa de cos B corresponderia a ângulo obtuso, o que foi excluído pelo enunciado.
Referência: Lei dos senos e lei dos cossenos
Resolução comentada do VaiConcursos.