Gabarito disponível
O número de soluções reais e distintas da equação
cos²(2x) = 3 − cos⁶(x) − 5 cos²(x)
no intervalo [0, 2π[ é
cos²(2x) = 3 − cos⁶(x) − 5 cos²(x)
no intervalo [0, 2π[ é
Resolução comentada
Com t = cos²x, a equação vira t³+4t²+t−2=0, que dá 4 soluções em [0, 2π[.
Com cos2x = 2t−1 e t = cos²x, tem-se (2t−1)² = 3 − t³ − 5t, ou seja, t³+4t²+t−2 = 0 = (t+1)(t²+3t−2). As raízes são t = −1 (impossível), t = (−3−√17)/2 (negativa, impossível) e t = (−3+√17)/2 ≈ 0,56, que está em [0,1]. Para cos²x = 0,56 há dois valores de cos x (±) e cada um dá 2 ângulos em [0, 2π[, totalizando 4 soluções.
Análise das alternativas
2, 3, 5 e 6 não correspondem à contagem: só uma raiz de t é válida, e ela gera exatamente 4 ângulos distintos.
Referência: Equações trigonométricas; identidade cos2x = 2cos²x − 1
Resolução comentada do VaiConcursos.