Gabarito disponível
Os ângulos α e β satisfazem a equação (cos α − cos β)² + (sen α + sen β)² = 2 , com α, β e (α + β) ∈ [0 , 2π]
Analise e classifique corretamente cada uma das proposições abaixo quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA.
( ) α = β = 3π/4 satisfazem a equação.
( ) A igualdade é verdadeira se sen (α+β) = 1
( ) A igualdade é verdadeira somente se α = π/3 e β = π/6
Sobre as proposições, tem-se que
Analise e classifique corretamente cada uma das proposições abaixo quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA.
( ) α = β = 3π/4 satisfazem a equação.
( ) A igualdade é verdadeira se sen (α+β) = 1
( ) A igualdade é verdadeira somente se α = π/3 e β = π/6
Sobre as proposições, tem-se que
Resolução comentada
A equação equivale a cos(α+β)=0, o que torna V, V e F as proposições.
Desenvolvendo, a expressão vale 2 − 2cos(α+β), e a igualdade com 2 exige cos(α+β)=0. Em I, α+β = 3π/2 e cos é 0, então é V. Em II, sen(α+β)=1 dá α+β=π/2 e cos é 0, então é V. Em III, o 'somente se' é falso, pois outros pares com soma π/2 ou 3π/2 também servem. Há duas verdadeiras.
Análise das alternativas
A) Errada: há duas verdadeiras. B) Errada: a III é falsa. C) Errada: são duas, não uma. D) Correta.
Referência: Trigonometria: cos(α+β) = cosα·cosβ − senα·senβ.
Resolução comentada do VaiConcursos.