Gabarito disponível
Considere o subconjunto:
S = {at³ + bt² + c | a² + b² + c² ≤ 0} ⊂ P₃ (ℝ) e as seguintes afirmações, sendo a adição e a multiplicação por escalar as operações tradicionais em Pₙ (ℝ):
I. O elemento neutro da adição em P₃ (ℝ) pertence a S.
II. A soma de dois elementos quaisquer de S pertence a S.
III. O produto de um escalar qualquer por um elemento qualquer de S pertence a S.
Com base no que foi apresentado, pode-se, corretamente, afirmar que
S = {at³ + bt² + c | a² + b² + c² ≤ 0} ⊂ P₃ (ℝ) e as seguintes afirmações, sendo a adição e a multiplicação por escalar as operações tradicionais em Pₙ (ℝ):
I. O elemento neutro da adição em P₃ (ℝ) pertence a S.
II. A soma de dois elementos quaisquer de S pertence a S.
III. O produto de um escalar qualquer por um elemento qualquer de S pertence a S.
Com base no que foi apresentado, pode-se, corretamente, afirmar que
Resolução comentada
S contém apenas o polinômio nulo, que é subespaço.
a²+b²+c² ≤ 0 só ocorre com a=b=c=0, então S = {0}. O polinômio nulo está em S (I), a soma de dois elementos de S é 0 e está em S (II), e escalar vezes 0 é 0 e está em S (III). Logo S é subespaço de P₃(ℝ).
Análise das alternativas
B, C, D e E afirmam que S não é subespaço, o que contradiz as três propriedades acima, todas satisfeitas.
Referência: Álgebra linear: subespaços vetoriais.
Resolução comentada do VaiConcursos.