Gabarito disponível
O número de soluções inteiras da inequação
[(x+1)(x⁹−1)(x²−x+1)(x²−10x+21)] / [(x⁶−1)(x⁶+x³+1)] < 0
é:
[(x+1)(x⁹−1)(x²−x+1)(x²−10x+21)] / [(x⁶−1)(x⁶+x³+1)] < 0
é:
Resolução comentada
Após simplificar os fatores comuns, resta (x−3)(x−7) < 0 com x ≠ ±1, o que dá os inteiros 4, 5 e 6.
Fatorando: x⁹−1 = (x−1)(x²+x+1)(x⁶+x³+1) e x⁶−1 = (x−1)(x+1)(x²+x+1)(x²−x+1). Os fatores (x+1), (x−1), (x²+x+1), (x²−x+1) e (x⁶+x³+1) cancelam entre numerador e denominador. Os que sobram, x²−x+1 e x⁶+x³+1, são sempre positivos. Resta (x−3)(x−7) < 0, ou seja, 3 < x < 7, com x ≠ ±1 (que já está fora do intervalo). Os inteiros são 4, 5 e 6, ou seja, 3 soluções.
Análise das alternativas
B, C, D e E) Erradas: contariam 3 e 7 (que anulam o numerador) ou valores fora do intervalo 3 < x < 7.
Referência: Inequações racionais; fatoração de x⁹−1 e x⁶−1.
Resolução comentada do VaiConcursos.