Gabarito disponível
Seja o polinômio g(x) = x⁵ + x⁴ − 2x³ + bx² + bx − 2b. O valor do maior inteiro k para o qual g(x) é divisível por (x + 2)ᵏ para algum b inteiro é:
Resolução comentada
g(x) = (x+2)(x−1)(x³+b); com b = 8, x³+8 também tem o fator (x+2), e o maior k é 2.
Agrupando, g(x) = x³(x²+x−2) + b(x²+x−2) = (x²+x−2)(x³+b) = (x+2)(x−1)(x³+b). Para elevar a multiplicidade de −2, é preciso x³+b ter raiz −2, o que exige b = 8. Então x³+8 = (x+2)(x²−2x+4), e o fator x²−2x+4 não tem raiz −2. Assim g tem (x+2)², e o maior k é 2.
Análise das alternativas
A) Errada: k = 1 é só o caso geral; com b = 8 o expoente sobe. C, D e E) Erradas: exigiriam multiplicidade 3 ou mais de −2, mas x²−2x+4 não se anula em −2 e (x−1) não contribui, então o máximo é 2.
Referência: Polinômios: fatoração, divisibilidade e raízes múltiplas.
Resolução comentada do VaiConcursos.