Gabarito disponível
Na expansão de [1 + x² − x³ + x⁴]¹⁰, a soma de todos os coeficientes das potências múltiplas de 3 é
Resolução comentada
Soma dos coeficientes das potências múltiplas de 3 usando raízes cúbicas da unidade.
A soma pedida é [P(1)+P(ω)+P(ω²)]/3, com ω uma raiz cúbica primitiva da unidade. P(1) = (1+1−1+1)¹⁰ = 1024. Para ω, 1+ω²−ω³+ω⁴ = 1+ω²−1+ω = ω+ω² = −1, então P(ω) = (−1)¹⁰ = 1, e o mesmo vale para P(ω²). A soma é (1024+1+1)/3 = 342.
Análise das alternativas
114, 228, 456 e 570 não resultam de (1024+1+1)/3. Só 342 está correta.
Referência: Polinômios: filtro de raízes da unidade.
Resolução comentada do VaiConcursos.